Vienkāršā iterācijas metode lineāro vienādojumu sistēmu (SLAE) risināšanai

Izglītība:
Notiek ielāde ...

Vienkāršā atkārtojuma metode, ko sauc arī par metodisecīga tuvināšana, ir matemātiskais algoritms, lai noteiktu nezināma daudzuma vērtību, pakāpeniski uzlabojot to. Šīs metodes būtība ir tā, ka, kā norāda nosaukums, pakāpeniski attīstoties no sākotnējās aproksimācijas, nākamie iegūst arvien izsmalcinātākus rezultātus. Šo metodi izmanto, lai atrastu mainīgā vērtību konkrētā funkcijā, kā arī risinātu vienādojumu sistēmas gan lineārai, gan nelineārai.

vienkārša iterācijas metode

Ļaujiet mums apsvērt, kā šī metode tiek īstenota SLAE risināšanā. Vienkāršā iterācijas metodei ir šāds algoritms:

1 Kontrozes nosacījuma izpildes verifikācija oriģinālajā matricā. Konverģences teorēmu: ja sākotnējā sistēma matrica ir pa diagonāli dominējošā (ti, katra rinda elementu galvenās diagonāles jābūt lielākam apmēra nekā summa elementiem sānu diagonāļu absolūtā vērtība), metode vienkāršu atkārtojumiem - saskaņoti.

2 Sākotnējās sistēmas matrica ne vienmēr ir pārsvars pār diagonāli. Šādos gadījumos sistēmu var pārveidot. Vienādojumi, kas atbilst konverģences nosacījums ir palicis neskarts, ar neapmierinoši un lineāru kombinācijas, proti, reiziniet, atņemiet, pievienojiet vienādojumus viena otrai, līdz tiek iegūts vēlamais rezultāts.

Ja iegūtajā sistēmā uz galvenās diagonāles ir neērti koeficienti, tad abām šāda vienādojuma daļām pievienojiet formas ci* xi, kuras pazīmes ir jāsakrīt ar diagonālo elementu pazīmēm.

3. Iegūtās sistēmas pārveidošana parastā formā:

x-= β-+ α * x-

To var izdarīt vairākos veidos, piemēram, šādi: no pirmā vienādojuma izteikt x1 caur citiem nezināmiem, no otra2, no trešās3 un tā tālāk. Mēs izmantojam šādas formulas:

αij= - (aij / a(ii)

i= bi/ aii
Mums atkal jāpārliecinās, ka iegūtā normālā formāta sistēma atbilst konverģences nosacījumam:

Σ (j = 1) | αij| ≤ 1, ar i = 1,2, ... n

4. Mēs faktiski sākam piemērot secīgu tuvinājumu metodi.

x(0)- sākotnējā aproksimācija, mēs to paužim x(1), pēc x(1) mēs izsakām x(2). Vispārīgā formula matricas veidā izskatās šādi:

x(n)= β-+ α * x(n-1)

Mēs aprēķinām, līdz sasniegsim nepieciešamo precizitāti:

max | xi(k) -xi(k + 1) ≤ ε

Tātad, analizēsim praksē vienkāršas iterācijas metodi. Piemērs:
Lai atrisinātu SLAU:

4.5x1-1.7x2 + 3.5x3 = 2
3.1x1 + 2.3x2-1.1x3 = 1
1.8x1 + 2.5x2 + 4.7x3 = 4 ar precizitāti ε = 10-3

Ļaujiet mums noskaidrot, vai modulā pārsvarā dominē diagonālie elementi.

Mēs redzam, ka tikai trešais vienādojums atbilst konverģences nosacījumam. Pirmais un otrais mēs pārveidojam, līdz pirmajam vienādojumam pievienojam otro:

vienkārša iterācijas metode

7.6x1 + 0.6x2 + 2.4x3 = 3

No trešās puses mēs atņemam pirmo:

-2.7x1 + 4.2x2 + 1.2x3 = 2

Mēs esam pārveidojuši sākotnējo sistēmu par līdzvērtīgu:

7.6x1 + 0.6x2 + 2.4x3 = 3
-2.7x1 + 4.2x2 + 1.2x3 = 2
1.8x1 + 2.5x2 + 4.7x3 = 4

Tagad sistēma tiek samazināta līdz normālai formai:

x1 = 0,3947-0,0789x2-0,3158x3
x2 = 0.4762 + 0.6429x1-0.2857x3
x3 = 0,8511-0,383x1-0,5319x2

Mēs pārbaudām iteratīvā procesa konverģenci:

0.0789 + 0.3158 = 0.3947 ≤ 1
0.6429 + 0.2857 = 0.9286 ≤ 1
0,383 + 0,5319 = 0,9149 ≤ 1, t.i. nosacījums ir izpildīts.

0.3957
Sākotnējā aproksimācija x(0) = 0.4762
0,8511

Mēs šīs vērtības nomainām parastās formulas vienādojumā, iegūstam šādas vērtības:

0.08835
x(1)= 0.486793
0,446639

Nosakot jaunas vērtības, iegūstam:

0,215243
x(2)= 0.405396
0,558336

Mēs turpinām aprēķinus līdz brīdim, kad mēs vēršamies pie vērtībām, kas atbilst konkrētajam nosacījumam.

0,18813

x(7)= 0.441091

0.544319

0,188002

x(8) = 0.44164

0.544428

Apskatīsim rezultātu pareizību:

4.5 * 0.1880 -1.7 * 0.441 + 3.5 * 0.544 = 2.0003
3.1 * 0.1880 + 2.3 * 0.441-1.1x * 0.544 = 0.9987
1.8 * 0.1880 + 2.5 * 0.441 + 4.7 * 0.544 = 3.9977

Rezultāti, kas iegūti, aizstājot sākotnējos vienādojumos atrastās vērtības, pilnībā atbilst vienādojuma nosacījumiem.

Kā redzams, vienkāršā iterācijas metode dod diezgan precīzus rezultātus, taču, lai atrisinātu šo vienādojumu, mums bija jāpavada daudz laika un jāveic daudz apgrūtinošu aprēķinu.

Notiek ielāde ...
Notiek ielāde ...