Sine teorēma. Trijstūru risināšana

Trijstūra pētījums nejauši izvirza jautājumupar attiecību aprēķināšanu starp viņu malām un leņķi. In ģeometrija, kosinuss un sine teorēma dod vispilnīgāko atbildi, lai atrisinātu šo problēmu. Dažādu matemātiskās izteiksmes un formulas, likumi, teorēmas un noteikumu pārpilnība ir tāda, ka dažādi neparasti harmonija, lakoniskā un viegli, lai pabarotu ieslodzīto tiem. Sine teorēma ir spilgts piemērs šādai matemātiskai formulējumam. Ja verbālo interpretācija un tomēr pastāv zināma šķērslis izpratni par matemātisko noteikumu, ja paskatās ar matemātisku formulu, visu uzreiz tas iekļaujas vietā.

Pirmā informācija par šo teorēmu tika atrasta tā pierādījuma formā, kas datēta ar trīspadsmitā gadsimta Nasir ad-Din Al-Tusi matemātisko darbu.

Tuvāk attiecības izskatīšanaimalas un leņķi jebkurā trīsstūrī, ir vērts atzīmēt, ka sine teorēma ļauj atrisināt daudz matemātisko problēmu, bet šis ģeometrijas likums atrod savu pielietojumu dažādos praktiskās cilvēka darbības veidos.

Sine teorēma pati nosaka, ka par jebkurutrijstūri raksturo ar pretējo leņķi vērsto sānu proporciju. Ir arī šī teorēmas otrā daļa, saskaņā ar kuru jebkura trijstūra malas attiecība pret pretējā leņķa sinūnu ir vienāda ar aplī diametru, kas aprakstīts aplūkojamajā trīsstūrī.

Formulas veidā šis izteiciens izskatās

a / sinA = b / sinB = c / sinC = 2R

Ir teorēma par sine proof, kas dažādās mācību grāmatu versijās tiek piedāvāta daudzās versijās.

Piemēram, apsveriet vienu no pierādījumiem, kas izskaidro teorēmas pirmo daļu. Lai to panāktu, izvirzīsim mērķi apliecināt izteiksmes derīgumu a sinC = c sinA

Ar patvaļīgu trijstūri ABC mēs uzbūvējam augstumuBH Vienā no konstrukcijas variantiem, H būs uz segmenta AC, bet otrā - ārpus tā, atkarībā no leņķiem pie trijstūru virsotnēm. Pirmajā gadījumā augstumu var izteikt trijstūra leņķu un sānu izteiksmē, jo BH = a sinC un BH = c sinA, kas ir vajadzīgs pierādījums.

Gadījumā, ja punkts H atrodas ārpus segmenta AC robežām, mēs varam iegūt šādus risinājumus:

BH = sinC un BH = c sin (180-A) = c sinA;

vai BH = grēks (180-C) = sinC un BH = c sinA.

Kā redzam, neatkarīgi no būvniecības iespējām mēs nonākam pie vēlamā rezultāta.

Par teorēmas otrās daļas pierādījumu tas prasamēs apraksta ap trīsstūra apli. Ar vienu no trīsstūra augstumiem, piemēram, B, mēs izgatavojam apļa diametru. Iegūstiet punktu apli D ar vienu no trijstūra augstuma, lai tas būtu trijstūra A punkts.

Ja mēs uzskatām, ka iegūtie trijstūri ABD unABC, tad jūs varat redzēt C un D leņķu vienādojumu (tie ir balstīti uz vienu loka). Ņemot vērā, ka leņķis A ir deviņdesmit grādos, tad grēks D = c / 2R vai sin C = c / 2R, kas bija jāpierāda.

Sine teorēma ir sākuma punktsplašs klāsts dažādu uzdevumu. Īpaša atrakcija ir tās praktiskā piemērošana, kā tie izriet teorēmu mēs varam attiekties vērtību trijstūra malām, iebilstot leņķi un rādiusu (diametrs) no apļa saistošo ap trijstūri. Vienkāršība un pieejamība formula, kas apraksta šo matemātisko izteiksmi, atļauts plaši izmantot šo teorēmu, lai atrisinātu problēmas, izmantojot dažādas mehāniskas ierīces skaitāmu (slaidu noteikumiem, galdiem, un tā tālāk.), Bet pat ierašanās no pakalpojuma personu jaudīgu skaitļošanas ierīču netiek samazināts atbilstību šo teorēmu.

Šī teorēma nav iekļauta ne tikai vidusskolas ģeometrijas obligātajā kursā, bet arī tiek pielietota dažās praktiskās darbības jomās.